কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দূইটি বলের লব্ধি তাদের একটি সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে এবং অপরটির এক তৃতীয়াংশ। বলদ্বয়ের অনুপাত কোনটি?

Created: 3 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

$3 : 2 \sqrt{2}$
খ

1:2
গ

3:7
ঘ

$3 \sqrt{2} : 5$

CU CU D Unit উচ্চতর গণিত 2020 বহুবিধ বলের কার্যকারিতা

957

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, দুইটি বল $P$ ও $Q$ এবং তাদের লব্ধি $R$। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং লব্ধি $R$ বল $P$ এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

লব্ধির দিকের সূত্রটি হলো:

\[\tan\theta = \frac{Q \sin\alpha}{P + Q \cos\alpha}\]

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি $R$ একটি বলের (ধরি, $P$ বল) সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ, $\theta = 90^\circ$।

তাহলে, $\tan 90^\circ = \infty$

যেহেতু $\tan 90^\circ$ অসীম, তাই এর হর শূন্য হবে।

অর্থাৎ, $P + Q \cos\alpha = 0$

এখান থেকে পাই, $Q \cos\alpha = -P$ ........... (i)

লব্ধির মানের সূত্রটি হলো:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha\]

সমীকরণ (i) থেকে $Q \cos\alpha = -P$ মানটি লব্ধির মানের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)\] \[R^2 = P^2 + Q^2 - 2P^2\] \[R^2 = Q^2 - P^2\]

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি $R$ অপর বলটির (অর্থাৎ, $Q$ বলটির) এক-তৃতীয়াংশ।

সুতরাং, $R = \frac{Q}{3}$

এই মানটি $R^2 = Q^2 - P^2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[\left(\frac{Q}{3}\right)^2 = Q^2 - P^2\] \[\frac{Q^2}{9} = Q^2 - P^2\]

$P^2$ কে বাম পাশে এবং $\frac{Q^2}{9}$ কে ডান পাশে নিয়ে গেলে পাই:

\[P^2 = Q^2 - \frac{Q^2}{9}\] \[P^2 = \frac{9Q^2 - Q^2}{9}\] \[P^2 = \frac{8Q^2}{9}\]

এখন, বলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে:

\[\frac{P^2}{Q^2} = \frac{8}{9}\]

উভয় পাশে বর্গমূল করে পাই:

\[\frac{P}{Q} = \sqrt{\frac{8}{9}}\] \[\frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\] \[\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

সুতরাং, বলদ্বয়ের অনুপাত $P:Q = 2\sqrt{2}:3$।

যদি আমরা ধরে নিতাম যে লব্ধি $R$ বল $Q$ এর সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে এবং $P$ বলের এক তৃতীয়াংশ, তাহলে $Q:P = 2\sqrt{2}:3$ আসতো, অর্থাৎ $P:Q = 3:2\sqrt{2}$।

প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে মিলিয়ে দেখতে হবে। অপশন 1 এ $3:2\sqrt{2}$ রয়েছে।

যদি ধরি, লব্ধি $R$ বল $Q$ এর সাথে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে এবং $P$ এর এক তৃতীয়াংশ:

তাহলে, $Q + P \cos\alpha = 0 \Rightarrow P \cos\alpha = -Q$

এবং $R = \frac{P}{3}$

লব্ধির মানের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha\] \[\left(\frac{P}{3}\right)^2 = P^2 + Q^2 + 2Q(-Q)\] \[\frac{P^2}{9} = P^2 + Q^2 - 2Q^2\] \[\frac{P^2}{9} = P^2 - Q^2\] \[Q^2 = P^2 - \frac{P^2}{9}\] \[Q^2 = \frac{8P^2}{9}\] \[\frac{P^2}{Q^2} = \frac{9}{8}\] \[\frac{P}{Q} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\]

অতএব, বলদ্বয়ের অনুপাত হলো $3:2\sqrt{2}$।

সঠিক উত্তরটি হলো $3:2\sqrt{2}$।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 704

Practice

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা হলো একাধিক বল একত্রিত হয়ে একটি সমষ্টিগত বল তৈরি করার প্রক্রিয়া। যখন বিভিন্ন ধরনের বল একত্রিত হয়ে একটি ফলস্বরূপ বল তৈরি করে, তখন তাকে বহুবিধ বল বলা হয়। এই ফলস্বরূপ বল বস্তুটির গতির পরিবর্তন বা অবস্থান পরিবর্তনে সহায়তা করে।

১. বহুবিধ বলের ধারণা

বহুবিধ বল বা ফলস্বরূপ বল (Resultant Force) হল একাধিক বলের সমষ্টি যা কোনো নির্দিষ্ট সিস্টেমে প্রভাব ফেলে। একাধিক বলের প্রভাবকে একটি একক বলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যার মান এবং দিক সেই সিস্টেমের কার্যকারিতা নির্ধারণ করে।
ভেক্টর গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করা হয়। ভেক্টর যোগফলের মাধ্যমে আমরা বিভিন্ন বলের গতি এবং দিক বিশ্লেষণ করতে পারি।

২. বহুবিধ বলের যোগফল (Vector Addition)

বিভিন্ন বল একত্রিত হওয়ার পর, তাদের যোগফল নির্ধারণ করতে ভেক্টর যোগফল ব্যবহার করা হয়। ভেক্টর যোগফলে, দুটি বা তার বেশি বলের আকার এবং দিক যোগ করা হয়।
একাধিক বলের যোগফল বের করতে কিছু পদ্ধতি রয়েছে:
- গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি: বলের ভেক্টরগুলি গ্রাফের মাধ্যমে যোগ করা হয়, যেখানে প্রতিটি বলকে একটি ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।
- আলজেব্রিক পদ্ধতি: ভেক্টরের একক উপাদান (অক্স, অক্ষাংশ, ও ভারসাম্য) দিয়ে প্রতিটি বলের প্রভাব যোগ করা হয়।

৩. বহুবিধ বলের প্রভাব

যথার্থ বলের প্রভাব: যখন একাধিক বল কোনো বস্তুতে প্রভাবিত করে, তখন এর ফলে বস্তুটির গতি, অবস্থান বা অবস্থার পরিবর্তন ঘটতে পারে।
ফলস্বরূপ বল (Resultant Force): একাধিক বলের সমষ্টি হল ফলস্বরূপ বল, যা বস্তুটির মোট প্রভাব প্রদর্শন করে।
- যদি সমস্ত বলের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হয়, তাহলে বস্তুটি স্থির থাকে।
- যদি ফলস্বরূপ বল শূন্য না হয়, তাহলে বস্তুটির গতি বৃদ্ধি বা দিক পরিবর্তন হবে।

৪. বহুবিধ বলের সমীকরণ

বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করতে ভেক্টর সমীকরণ ব্যবহার করা হয়:
\[
\text{ফলস্বরূপ বল (Resultant Force)} = F_1 + F_2 + \dots + F_n
\]
এখানে, $ F_1, F_2, \dots, F_n $ বিভিন্ন বল যা বস্তুতে প্রভাবিত করে।

৫. বহুবিধ বলের ভারসাম্য (Equilibrium of Multiple Forces)

একটি বস্তু ভারসাম্য অবস্থায় থাকবে যখন তার উপরে প্রযোজ্য সকল বলের যোগফল শূন্য হবে। এটি ভারসাম্য শর্ত বলে পরিচিত।
ভারসাম্য শর্ত অনুযায়ী, একাধিক বল যদি একটি বস্তুতে প্রভাবিত করে, তবে তাদের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হতে হবে।
ভারসাম্য পরীক্ষার জন্য:
\[
\sum F_x = 0 \quad \text{এবং} \quad \sum F_y = 0
\]
অর্থাৎ, সকল অনুভূমিক এবং 수직 বলের যোগফল শূন্য হতে হবে।

৬. বহুবিধ বলের উদাহরণ

দুইটি বলের যোগফল: যদি একটি বল $ 10 , \text{N} $ পূর্ব দিকে এবং অপরটি $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম দিকে প্রভাবিত করে, তাদের ফলস্বরূপ বল হবে $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম-পূর্ব দিকে।
একাধিক বলের সমষ্টি: যদি ৩টি বল প্রভাবিত করে, একটির মান $ 10 , \text{N} $, দ্বিতীয়টির $ 20 , \text{N} $, এবং তৃতীয়টির $ 15 , \text{N} $, তবে ভেক্টর যোগফল প্রয়োগ করে একটি সমষ্টিগত ফলস্বরূপ বল বের করা হবে।

সারাংশে, বহুবিধ বলের কার্যকারিতা বোঝা প্রয়োজন কেননা একাধিক বলের প্রভাব একটি বস্তুতে ব্যাপক পরিবর্তন ঘটাতে পারে। সঠিকভাবে তাদের যোগফল বের করে, বস্তুটির গতির পরিবর্তন এবং অবস্থানের বিশ্লেষণ করা সম্ভব হয়।

Notification